Как на координатной оси отметить дробное число. Координатная прямая (числовая прямая), координатный луч

На данном уроке мы познакомимся с понятием координатной прямой, выведем ее основные характеристики и свойства. Сформулируем и научимся решать основные задачи. Решим несколько примеров на сочетание этих задач.

Из курса геометрии мы знаем, что такое прямая, но что нужно сделать с обычной прямой, чтобы она стала координатной?

1) Выбрать точку начала отсчета;

2) Выбрать направление;

3) Выбрать масштаб;

На рисунке 1 изображена обычная прямая, а на рисунке 2 - координатная.

Координатной прямой называется такая прямая l , на которой выбрана начальная точка О - начало отсчета, масштаб - единичный отрезок, то есть такой отрезок, длина которого считается равной единице, и положительное направление.

Координатную прямую также называют координатной осью или осью Х.

Выясним, зачем нужна координатная прямая, для этого определим ее основное свойство. Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между множеством всех чисел и множеством всех точек на этой прямой. Приведем примеры:

Заданы два числа: (знак «+», модуль равен трем) и (знак «-», модуль равен трем).Изобразим эти числа на координатной прямой:

Здесь число называется координатой А, число - координатой В.

Говорят также, что образом числа есть точка С с координатой , а образом числа есть точка D с координатой :

Итак, поскольку основное свойство координатной прямой - это установление взаимооднозначного соответствия между точками и числами, то возникает две основные задачи: указать точку по заданному числу, мы это уже сделали выше, и указать число по заданной точке. Рассмотрим пример второй задачи:

Пусть дана точка М:

Чтобы определить по данной точке число нужно в первую очередь определить расстояние от начал отсчета до точки. В данном случае расстояние равно двум. Теперь нужно определить знак числа, то есть в каком луче прямой лежит точка М. В данном случае точка лежит справа от начала отсчета, в положительном луче, значит число будет иметь знак «+».

Возьмем еще одну точку и по ней определим число:

Расстояние от начала отсчета до точки аналогично предыдущему примеру равно двум, но в данном случае точка лежит слева от начала отсчета, на отрицательном луче, значит точка N характеризует число

Все типовые задачи, связанные с координатной прямой, так или иначе связаны с ее основным свойством и двумя основными задачами, которые мы сформулировали и решили.

К типовым задачам относятся:

-уметь расставлять точки и их координаты ;

-понимать сравнение чисел :

выражение означает, что точка С с координатой 4 лежит правее точки М с координатой 2:

И наоборот, если нам задано расположение точек на координатной прямой, мы должны понимать, что их координаты связаны определенным соотношением:

Пусть заданы точки М(х М) и N(x N):

Мы видим, что точка М лежит правее точки n, значит, их координаты соотносятся как

-Определение расстояния между точками .

Мы знаем, что расстояние между точками Х и А равно модулю числа . пусть даны две точки:

Тогда расстояние между ними будет равно:

Еще одно очень важная задача - это геометрическое описание числовых множеств .

Рассмотрим луч, который лежит на координатной оси, не включает свое начало, но включает все остальные точки:

Итак, у нас задано множество точек, расположенных на координатной оси. Опишем множество чисел, которое характеризуется данным множеством точек. Таких чисел и точек бесчисленное множество, поэтому данная запись выглядит так:

Сделаем пояснение: при втором варианте записи если ставят круглую скобку «(» значит крайнее число - в данном случае число 3, не включается в множество, если же поставить квадратную скобку «[», то крайнее число включается в множество.

Итак, мы записали аналитически числовое множество, которое характеризует заданное множество точек. аналитическая запись, как мы сказали, выполняется или в виде неравенства, или в виде промежутка.

Задано множество точек:

В данном случае точка а=3 входит в множество. Опишем аналитически множество чисел:

Обратим внимание, что после или перед знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку, так как бесконечности мы никогда не достигнем, а около числа может стоять как круглая скобка, так и квадратная, в зависимости от условий поставленной задачи.

Рассмотрим пример обратной задачи.

Дана координатная прямая. Изобразить на ней множество точек, соответствующих числовому множеству и :

Координатная прямая устанавливает взаимооднозначное соответствие между любой точкой и числом, а значит и между числовыми множествами и множествами точек. Мы рассмотрели лучи, направленные как в положительном, так и в отрицательном направлении, включающие свою вершину и не включающие ее. Теперь рассмотрим отрезки.

Пример 10:

Задано множество чисел . Изобразить соответствующее множество точек

Пример 11:

Задано множество чисел . Изобразить множество точек:

Иногда чтобы показать, что концы отрезка не включаются в множество, рисуют стрелки:

Пример 12:

Дано числовое множество . Построить его геометрическую модель:

Найти наименьшее число из промежутка :

Найти наибольшее число из промежутка , если оно существует:

Мы может отнять от восьми сколь угодно малое число и сказать, что результат и будет наибольшим числом, но тут же найдем число еще меньше, и результат вычитания увеличится, так что найти наибольшее число в данном промежутке невозможно.

Обратим внимание на тот факт, что ни к одному числу на координатной прямой нельзя подобрать ближайшее число, потому что всегда найдется число еще ближе.

Сколько натуральных чисел содержится в заданном промежутке?

Из промежутка выделим следующие натуральные числа: 4, 5, 6, 7 - четыре натуральных числа.

Напомним, что натуральные числа - это числа, применяемые для счета.

Возьмем другое множество.

Пример 13:

Задано множество чисел

Построить его геометрическую модель:

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Определение 1

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Пример 1

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Пример 2

Определение 2

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Пример 3

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...

Пример 4

Определение 3

– это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Пример 5

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Пример 6

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Пример 7

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Пример 8

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Пример 9

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Пример 10

Определение 4

– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Определение 5

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Пример 11

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Определение 6

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Утверждать, что вы знаете математику, невозможно, если вы не умеете строить графики, изображать неравенства на координатной прямой, работать с осями координат. Визуальная составляющая в науке жизненно необходима, ведь без наглядных примеров в формулах и вычислениях порой можно сильно запутаться. В данной статье мы посмотрим, как работать с осями координат, и научимся строить простейшие графики функций.

Применение

Координатная прямая - это основа простейших видов графиков, с которыми сталкивается школьник на своем учебном пути. Она используется практически в каждой математической теме: при расчёте скорости и времени, проецировании размеров объектов и вычислении их площади, в тригонометрии при работе с синусами и косинусами.

Главная ценность такой прямой - это наглядность. Поскольку математика - это наука, в которой требуется высокий уровень абстрактности мышления, графики помогают в представлении объекта в реальном мире. Как он себя ведет? В какой точке пространства будет находиться через несколько секунд, минут, часов? Что можно сказать о нём в сопоставлении с другими объектами? Какой скоростью он обладает в случайно выбранный момент времени? Как охарактеризовать его движение?

А про скорость речь идёт неспроста - именно её зачастую отображают графики функции. А ещё они могут отображать изменение температуры или давления внутри объекта, его размеров, ориентации относительно горизонта. Таким образом, построить координатную прямую зачастую требуется и в физике.

Одномерный график

Существует понятие многомерности. В достаточно всего одного числа, чтобы определить местоположение точки. Это как раз и есть случай с применением координатной прямой. Если пространство двухмерное, то потребуется два числа. Графики такого типа используются гораздо чаще, и чуть дальше в статье мы их обязательно рассмотрим.

Что можно увидеть с помощью точек на оси, если она всего одна? Можно увидеть размер объекта, его положение в пространстве относительно некоторого «нуля», т. е. точки, выбранной в качестве начала отсчёта.

Изменение параметров с течением времени увидеть не удастся, так как все показания будут отображаться для одного конкретного момента. Однако с чего-то надо начинать! Итак, приступим.

Как построить координатную ось

Для начала требуется провести горизонтальную линию - это и будет наша ось. С правой стороны «заострим» её, чтобы она была похожа на стрелку. Таким образом мы обозначим направление, в котором числа будут увеличиваться. В сторону уменьшения стрелка обычно не ставится. Традиционно ось направлена вправо, поэтому мы просто последуем данному правилу.

Поставим нулевую отметку, которая будет отображать начало координат. Это то самое место, от которого ведется отсчёт, будь то размер, вес, скорость или что угодно другое. Кроме нуля, мы обязательно должны обозначить так называемую цену деления, т. е. ввести стандарт единицы, в соответствии с которой будем откладывать на оси те или иные величины. Это обязательно нужно делать, чтобы уметь находить длину отрезка на координатной прямой.

Через равное расстояние друг от друга поставим точки или «зарубки» на линии, а под ними напишем соответственно 1,2,3 и так далее. И вот, всё готово. Но с получившимся графиком надо ещё научиться работать.

Виды точек на координатной прямой

С первого взгляда на предложенные в учебниках рисунки становится понятно: точки на оси могут быть закрашенные или не закрашенные. Вы думаете, это случайность? Вовсе нет! «Сплошная» точка используется при нестрогом неравенстве - том, которое читается как «больше или равно». Если же нужно строго ограничить интервал (например, «икс» может принимать значения от нуля до единицы, но не включает её), мы воспользуемся «полой» точкой, то есть, по сути, маленьким кружком на оси. Надо заметить, что ученики не очень любят строгие неравенства, потому что с ними сложнее работать.

В зависимости от того, какие точки вы используете на графике, будут называться и построенные интервалы. Если неравенство с двух сторон нестрогое, то мы получим отрезок. Если с одной стороны он окажется «открыт», то называться будет полуинтервалом. Наконец, если часть прямой ограничена с двух сторон полыми точками, она будет называться интервалом.

Плоскость

При построении двух прямых на мы уже можем рассматривать графики функций. Скажем, горизонтальная линия будет осью времени, а вертикальная - расстоянием. И вот уже мы в состоянии определить, какое расстояние преодолеет объект через минуту или час пути. Таким образом, работа с плоскостью даёт возможность следить за изменением состояния объекта. Это гораздо интереснее, чем исследование статичного состояния.

Простейший график на такой плоскости - прямая, она отражает функцию Y(X) = aX + b. Линия изгибается? Это означает, что объект меняет свои характеристики в процессе исследования.

Представьте, вы стоите на крыше здания и держите в вытянутой руке камень. Когда вы отпустите его, он полетит вниз, начав своё движение с нулевой скорости. Но уже через секунду он будет преодолевать 36 километров в час. Камень продолжит ускоряться и дальше, и чтобы нарисовать его движение на графике, вам потребуется замерить его скорость в несколько моментов времени, выставив точки на оси в соответствующих местах.

Отметки на горизонтальной координатной прямой по умолчанию получают название X1, X2,X3, а на вертикальной - Y1, Y2,Y3 соответственно. Проецируя их на плоскость и находя пересечения, мы находим фрагменты результирующего рисунка. Соединив их одной линией, мы получим график функции. В случае с падающим камнем квадратичная функция будет иметь вид: Y(X) = aX * X + bX + c.

Масштаб

Конечно, не обязательно выставлять рядом с делениями на прямой целочисленные значения. Если вы рассматриваете движение улитки, которая ползет со скоростью 0,03 метра в минуту, выставьте в качестве значений на координатной прямой дроби. В данном случае задайте цену деления как 0,01 метра.

Особенно удобно выполнять такие чертежи в тетради в клетку - здесь сразу видно, хватит ли места на листе для вашего графика, не выйдете ли вы за поля. Свои силы рассчитать несложно, ведь ширина клетки в такой тетради - 0,5 сантиметра. Понадобилось - уменьшили рисунок. От изменения масштаба графика он не потеряет и не изменит своих свойств.

Координаты точки и отрезка

Когда на уроке дается математическая задача, в ней могут содержаться параметры различных геометрических фигур как в виде длин сторон, периметра, площади, так и в виде координат. В этом случае может потребоваться как построить фигуру, так и получить какие-то данные, связанные с ней. Возникает вопрос: как найти на координатной прямой требуемую информацию? И как построить фигуру?

Например, речь идёт о точке. Тогда в условии задачи будет фигурировать заглавная буква, а в скобках будут стоять несколько цифр, чаще всего две (это значит, считать мы будем в двухмерном пространстве). Если в скобках три числа, записанные через точку с запятой или через запятую, то это трехмерное пространство. Каждое из значений - это координата на соответствующей оси: сначала по горизонтальной (X), затем - по вертикальной (Y).

Помните, как построить отрезок? Вы проходили это на геометрии. Если есть две точки, то между ними можно провести прямую. Их-то координаты и указываются в скобках, если в задаче фигурирует отрезок. Например: A(15, 13) - B(1, 4). Чтобы построить такую прямую, нужно на координатной плоскости найти и отметить точки, а затем их соединить. Вот и всё!

А любые многоугольники, как вы знаете, можно нарисовать с помощью отрезков. Задача решена.

Расчёты

Допустим, есть некоторый объект, положение которого по оси X характеризуется двумя числами: начинается он в точке с координатой (-3) и заканчивается в (+2). Если мы хотим узнать длину этого предмета, то должны вычесть из большего числа меньшее. Обратите внимание, что отрицательное число поглощает знак вычитания, потому что «минус на минус даёт плюс». Итак, мы складываем (2+3) и получаем 5. Это и есть требуемый результат.

Другой пример: нам дана конечная точка и длина объекта, но не дана начальная (и требуется её найти). Пусть положение известной точки будет (6), а размер изучаемого предмета - (4). Вычитая длину из конечной координаты, мы получим ответ. Итого: (6 - 4) = 2.

Отрицательные числа

Нередко требуется на практике работать с отрицательными значениями. В этом случае мы будем уходить по оси координат влево. Например, объект высотой 3 сантиметра плавает в воде. На треть он погружен в жидкость, на две трети находится на воздухе. Тогда, выбрав в качестве оси поверхность воды, мы с помощью простейших арифметических вычислений получаем два числа: верхняя точка объекта имеет координату (+2), а нижняя - (-1) сантиметр.

Нетрудно заметить, что в случае с плоскостью у нас образуется четыре четверти координатной прямой. Каждая из них имеет свой номер. В первой (верхней правой) части будут располагаться точки, имеющие две положительные координаты, во второй - слева сверху - значения по оси «икс» будут отрицательные, а по «игрек» - положительные. Третья и четвертая отсчитываются дальше против часовой стрелки.

Важное свойство

Вы знаете, что прямую можно представить как бесконечное множество точек. Мы можем просмотреть сколь угодно внимательно любое количество значений в каждую сторону оси, но не встретим повторяющихся. Это кажется наивным и понятным, но проистекает то утверждение из важного факта: каждому числу соответствует одна и только одна точка на координатной прямой.

Заключение

Помните, что любые оси, фигуры и по возможности графики необходимо строить по линейке. Единицы измерений были придуманы человеком не случайно - допустив погрешность при черчении, вы рискуете увидеть уже не то изображение, которое должно было получиться.

Будьте внимательны и аккуратны в построении графиков и вычислениях. Как и любая наука, изучаемая в школе, математика любит точность. Приложите немного старания, и хорошие оценки не заставят себя долго ждать.

Так единичный отрезок и его десятая, сотая и так далее доли позволяют нам попасть в точки координатной прямой, которым будут соответствовать конечные десятичные дроби (как в предыдущем примере). Однако на координатной прямой существуют точки, в которые мы не можем попасть, но к которым мы можем подойти сколь угодно близко, использую все меньшие и меньшие до бесконечно малой доли единичного отрезка. Этим точкам соответствуют бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби. Приведем несколько примеров. Одной из таких точек на координатной прямой соответствует число 3,711711711…=3,(711) . Чтобы подойти к этой точке нужно отложить 3 единичных отрезка, 7 его десятых долей, 1 сотую долю, 1 тысячную, 7 десятитысячных долей, 1 стотысячную, 1 миллионную долю единичного отрезка и так далее. А еще одной точке координатной прямой отвечает пи (π=3,141592... ).

Так как элементами множества действительных чисел являются все числа, которые можно записать в виде конечных и бесконечных десятичных дробей, то вся вышеизложенная в этом пункте информация позволяет утверждать, что каждой точке координатной прямой мы поставили в соответствие конкретное действительное число, при этом понятно, что разным точкам соответствуют разные действительные числа.

Также достаточно очевидно, что это соответствие является взаимно однозначным. То есть, мы можем указанной точке на координатной прямой поставить в соответствие действительное число, но мы также можем по данному действительному числу указать конкретную точку на координатной прямой, которой отвечает данное действительное число. Для этого нам придется отложить от начала отсчета в нужном направлении определенное количество единичных отрезков, а также десятых, сотых и так далее долей единичного отрезка. Например, числу 703,405 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 703 единичных отрезка, 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков, составляющих тысячную долю единичного.

Итак, каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число имеет свое место в виде точки на координатной прямой. Вот почему координатную прямую очень часто называют числовой прямой .

Координаты точек на координатной прямой

Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки .

В предыдущем пункте мы сказали, что каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой, поэтому, координата точки однозначно определяет положение этой точки на координатной прямой. Иными словами, координата точки однозначно задает эту точку на координатной прямой. С другой стороны каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число – координата этой точки.

Осталось сказать лишь о принятых обозначениях. Координату точки записывают в круглых скобках справа от буквы, которой обозначена точка. Например, если точка М имеет координату -6 , то можно записать М(-6) , а запись вида означает, что точка М на координатной прямой имеет координату .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.

В конце главы 1 мы говорили о том, что в курсе алгебры нам с вами надо учиться описывать реальные ситуации словами (словесная модель), алгебраически (алгебраическая или, как чаще говорят математики, аналитическая модель), графически (графическая или геометрическая модель). Весь первый раздел учебника (главы 1-5) был посвящен изучению математического языка, с помощью которого описываются аналитические модели.

Начиная с главы 6 мы будем изучать не только новые аналитические, но и графические (геометрические) модели. Они строятся с помощью координатной прямой, координатной плоскости . Эти понятия вам немного знакомы из курса математики 5-6 классов.

Прямую /, на которой выбрана начальная точка О (начало отсчета), масштаб (единичный отрезок , т. е. отрезок, длина которого считается равной 1) и положительное направление, называют координатной прямой, или координатной осью (рис. 7); употребляют также термин «ось х".

Каждому числу соответствует единственная точка прямой. Например, числу 3,5 соответствует точка М (рис. 8), которая удалена от начала отсчета, т. е. от точки О, на расстояние, равное 3,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О в заданном (положительном) направлении. Числу -4 соответствует точка Р (см. рис. 8), которая удалена от точки О на расстояние, равное 4, и отложена от точки О в отрицательном направлении, т. е. в направлении, противоположном заданному.

Верно и обратное: каждая точка координатной прямой соответствует единственному числу.

Например, точка К, удаленная от точки О на расстояние 5,4 в положительном (заданном) направлении, соответствует числу 5,4, а точка N, удаленная от точки О на расстояние 2,1 в отрицательном направлении, соответствует числу - 2,1 (см. рис. 8).

Указанные числа называют координатами соответствующих точек. Так, на рис. 8 точка К имеет координату 5,4; точка Р - координату -4; точка М - координату 3,5; точка N - координату -2,1; точка О - координату 0 (нуль). Отсюда и происходит название - «координатная прямая». Образно выражаясь, координатная прямая - это густо заселенный дом, жильцы этого дома - точки, а координаты точек - это номера квартир, в которых живут точки- жильцы.

Зачем нужна координатная прямая? Зачем характеризовать точку числом, а число - точкой? Есть ли в этом какая-либо польза? Да, есть.
Пусть, например, на координатной прямой даны две точки: А - с координатой о и В - с координатой Ь (обычно в таких случаях пишут короче:
А(а), В(Ь)). Пусть нам надо найти расстояние d между точками А и В. Оказывается, вместо того чтобы делать геометрические измерения , достаточно воспользоваться готовой формулой d = (а - b) (вы изучали ее в 6 классе).
Так, на рисунке 8 имеем:

Стремясь к лаконичности рассуждений, математики договорились вместо длинной фразы «точка А координатной прямой, имеющая координату а», использовать короткую фразу: «точка а», и, соответственно, на чертеже рассматриваемую точку обозначать ее координатой. Так, на рисунке 9 изображена координатная прямая, на которой отмечены точки - 4; - 2,1; 0; 1; 3,5; 5,4.

Координатная прямая дает нам возможность свободно переходить с алгебраического языка на геометрический и обратно. Пусть, например, число а меньше числа Ь. На алгебраическом языке это записывается так: а < b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Впрочем, и алгебраический, и геометрический языки - это разновидности одного и того же математического языка, который мы с вами изучаем.

Познакомимся еще с несколькими элементами математического языка, которые связаны с координатной прямой.

1. Пусть на координатной прямой отмечена точка а. Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой правее точки а, и отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 10). Это множество точек (чисел) называют открытым лучом и обозначают (a, +oo), где знак +оо читается: «плюс бесконечность»; оно характеризуется неравенством х > а (под дг понимается любая точка луча).

Обратите внимание: точка а открытому лучу не принадлежит, а eсли же эту точку надо присоединить к открытому лучу, то пишут х > a или и, соответственно, на чертеже точку b закрашивать (рис. 13);

для (- оо, b) также будем употреблять термин луч.

3. Пусть на координатной прямой отмечены точки а и b, причем а < b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Это множество (чисел) называют интервалом и обозначают (а, b).

Оно характеризуется строгим двойным неравенством a < х < b (под х понимается любая точка интервала).

Обратите внимание: интервал (а, b) есть пересечение (общая часть) двух открытых лучей (-оо, b) и (а, + оо) - это хорошо видно на рисунке 15.

Если к интервалу (а, b) добавить его концы, т. е. точки a и b, то получится отрезок [а, b] (рис. 16),

который характеризуется нестрогим двойным неравенством а < х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Отрезок [а, b] есть пересечение (общая часть) двух лучей (-оо, b] и и который характеризуется с помощью двойных неравенств: a < х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Итак, мы ввели пять новых терминов математического языка: луч, открытый луч, интервал, отрезок, полуинтервал. Есть и общий термин: числовые промежутки.

Сама координатная прямая также считается числовым промежутком; для нее используют обозначение (-оо, +оо).

Математика за 7 класс бесплатно скачать , планы конспектов уроков, готовимся к школе онлайн

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки