Регрессионный анализ

Классификация регрессионных моделей.

Зависимость между экономическими переменными типа Y=f(X)+ԑ называется регрессионной зависимостью, эконометрические модели со спецификацией вида Y=f(X)+ԑ — регрессионными моделями. Регрессионная зависимость является обобщением функциональной зависимости между переменными и при ԑ=0 сводится к ней.

Независимые переменные в регрессионных моделях называются регрессорами. В зависимости от типа уравнения регрессии модели подразделяются на линейные ( и нелинейные. Уравнения регрессии в нелинейных моделях могут быть нелинейными как по переменным ( , так и по параметрам ( .

В зависимости от количества регрессоров, входящих в спецификацию, регрессионные модели подразделяются на модели парной (простой, двумерной – ) регрессии и модели множественной (многомерной — ) регрессии.

В парной регрессионной модели эндогенная переменная зависит только от одного регрессора.

Предыдущая12345678910111213141516Следующая


Дата добавления: 2015-01-10; просмотров: 1693;


ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Оценка параметров линейной регрессии

Стр 1 из 11Следующая ⇒

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

(или ) (3)

Первое выражение позволяет по заданным значениям фактора x рассчитать теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x. На графике теоретические значения лежат на прямой, которые представляют собой линию регрессии.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров- а и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

 
 

МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений от теоретических минимальна:

или (4)

Для нахождения минимума надо вычислить частные производные суммы (4) по каждому из параметров – а и b – и приравнять их к нулю.

(5)

Преобразуем, получаем систему нормальных уравнений:

(6)

В этой системе n-объем выборки, суммы легко рассчитываются из исходных данных. Решаем систему относительно а и b, получаем:

(7)

. (8)

Выражение (7) можно записать в другом виде:

(9)

где ковариация признаков, дисперсия фактора x.

Параметр b называется коэффициентом регрессии.Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение парной регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально a – значение y при x=0. Если x не имеет и не может иметь нулевого значения, то такая трактовка свободного члена a не имеет смысла. Параметр a может не иметь экономического содержания.

Попытки экономически интерпретировать его могут привести к абсурду, особенно при a< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре a. Если a> 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Сравним эти относительные изменения:

< при > 0, > 0 <

Иногда линейное уравнение парной регрессии записывают для отклонений от средних значений:

, (10)

где , . При этом свободный член равен нулю, что и отражено в выражении (10). Этот факт следует из геометрических соображений: уравнению регрессии отвечает та же прямая (3), но при оценке регрессии в отклонениях начало координат перемещается в точку с координатами . При этом в выражении (8) обе суммы будут равны нулю, что и повлечет равенство нулю свободного члена.

Рассмотрим в качестве примера по группе предприятий, выпускающих один вид продукции, регрессионную зависимость издержек от выпуска продукции .

Таблица 1

Выпуск продукции тыс.ед.( ) Затраты на производство, млн.руб.( )
31,1
67,9
141,6
104,7
178,4
104,7
141,6
Итого: 22 770,0

Система нормальных уравнений будет иметь вид:

Решая её, получаем a= -5,79, b=36,84.

Уравнение регрессии имеет вид:

Подставив в уравнение значения х, найдем теоретические значения y (последняя колонка таблицы).

Величина a не имеет экономического смысла.

Если переменные x и y выразить через отклонения от средних уровней, то линия регрессии на графике пройдет через начало координат. Оценка коэффициента регрессии при этом не изменится:

, где , .

В качестве другого примера рассмотрим функцию потребления в виде:

,

где С- потребление, y –доход, K,L-параметры. Данное уравнение линейной регрессии обычно используется в увязке с балансовым равенством:

,

где I– размер инвестиций, r – сбережения.

Для простоты предположим, что доход расходуется на потребление и инвестиции. Таким образом, рассматривается система уравнений:

Наличие балансового равенства накладывает ограничения на величину коэффициента регрессии, которая не может быть больше единицы, т.е. .

Предположим, что функция потребления составила:

.

Коэффициент регрессии характеризует склонность к потреблению. Он показывает, что из каждой тысячи рублей дохода на потребление расходуется в среднем 650 руб., а 350 руб. инвестируется. Если рассчитать регрессию размера инвестиций от дохода, т.е. , то уравнение регрессии составит . Это уравнение можно и не определять, поскольку оно выводится из функции потребления. Коэффициенты регрессии этих двух уравнений связаны равенством:

0,65+0,35=1.

Если коэффициент регрессии оказывается больше единицы, то , и на потребление расходуются не только доходы, но и сбережения.

Коэффициент регрессии в функции потребления используется для расчета мультипликатора:

.

Здесь m≈2,86, поэтому дополнительные вложения 1 тыс. руб. на длительный срок приведут при прочих равных условиях к дополнительному доходу 2,86 тыс. руб.

При линейной регрессии в качестве показателя тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции r:

(11)

Его значения находятся в границах: . Если b > 0, то при b< 0 . По данным примера , что означает очень тесную зависимость затрат на производство от величины объема выпускаемой продукции.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается коэффициент детерминациикак квадрат линейного коэффициента корреляции r2.

Он характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

(12)

Величина характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели факторов.

В примере . Уравнением регрессии объясняется 98,2% дисперсии , а на прочие факторы приходится 1,8%, это остаточная дисперсия.

1.3. Предпосылки МНК (условия Гаусса-Маркова)

Как было сказано выше, связь между y и x в парной регрессии является не функциональной, а корреляционной. Поэтому оценки параметров a и b являются случайными величинами, свойства которых существенно зависят от свойств случайной составляющей ε. Для получения по МНК наилучших результатов необходимо выполнение следующих предпосылок относительно случайного отклонения (условия Гаусса-Маркова):

10. Математическое ожидание случайного отклонения равно нулю для всех наблюдений: .

20. Дисперсия случайных отклонений постоянна: .

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсии отклонений)

30. Случайные отклонения εi и εj являются независимыми друг от друга для :

Выполнимость этого условия называется отсутствием автокорреляции.

40. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных.

Обычно это условие выполняется автоматически, если объясняющие переменные в данной модели не являются случайными. Кроме того, выполнимость данной предпосылки для эконометрических моделей не столь критична по сравнению с первыми тремя.

При выполнимости указанных предпосылок имеет место теорема ГауссаМаркова: оценки (7) и (8), полученные по МНК, имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок.

Таким образом, при выполнении условий Гаусса-Маркова оценки (7) и (8) являются не только несмещенными оценками коэффициентов регрессии, но и наиболее эффективными, т.е. имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин yi.

Именно понимание важности условий Гаусса-Маркова отличает компетентного исследователя, использующего регрессионный анализ, от некомпетентного. Если эти условия не выполнены, исследователь должен это сознавать. Если корректирующие действия возможны, то аналитик должен быть в состоянии их выполнить. Если ситуацию исправить невозможно, исследователь должен быть способен оценить, насколько серьезно это может повлиять на результаты.

12345678910Следующая ⇒

Читайте также:


Анализ случайных остатков в модели регрессии

Предыдущая12345678Следующая

Остатки представляют собой независимые случайные величины, которые включают влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Их анализ проводится после построения уравнения регрессии. Случайные остатки должны отвечать определенным критериям: быть несмещенными, состоятельными и эффективными.

несмещенность является желательным свойством, так как только при ней остатки имеют практическую значимость. Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. То есть при большом объеме выборки средняя величина остатков будет стремится к нулю, и параметр можно будет рассматривать как среднюю величину.

— оценки считаются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией.

состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки. Большой практический интерес представляет та вероятность получения оценки на заданном расстоянии от истинного значения параметра, которая близка к единице.

Условия для получения подобных оценок представляют собой предпосылки МНК:

— случайный характер остатков,

— нулевая средняя величина остатков, не зависящая от фактора,

— гомоскедастичность — дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений х,

— отсутствие автокорреляционных остатков — распределение остатков независимо друг от друга,

— остатки подчиняются нормальному распределению.

26. использование коэффициента ранговой корреляции Спирмена для выявления гетероскедастичности случайных остатков:

Суть проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки коррелированны со значениями фактора. Эту корреляцию можно измерить с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена: где, d – абсолютная разность между рангами значений фактора и остатка. Статистическую значимость можно оценить с помощью t-критерия: . Если это значение больше табличного, то корреляция между остатком и фактором статистически значима, то есть имеет место гетероскедастичность остатков. В противном случае принимается гипотеза об ее отсутствии.

27. отбор факторов в модель множественной регрессии: требования к факторам, методы отбора:множественная регрессия представляет собой модель, где среднее значение результата рассматривается как функция нескольких независимых факторов. Включение в уравнение того или иного набора факторов связано прежде всего с представлениями о взаимосвязи результата и явлений. Теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое количество факторов, но практически в этом нет смысла. Включаемые в регрессию факторы должны объяснять вариацию зависимой переменной, то есть уменьшать долю остаточной дисперсии. Факторы, включаемые в множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

быть количественно измеримыми. Качественный фактор может быть включен в модель после придания ему количественной определенности (баллы, ранжирование).

не должны быть коррелированны между собой и тем более находится в точной функциональной связи. Включение таких факторов может привести к ненадежности оценок коэффициентов регрессии. Если факторы сильно коррелированны, нельзя определить их изолированное влияние на результат, то есть параметры становятся неинтерпретируемыми.

Лишние факторы приводят к статистической незначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента. Отбор факторов обычно производится в две стадии: отбор факторов исходя из сути проблемы; отбор на основе матрицы показателей корреляции и определения t-критериев для параметров регрессии.

1) Коэффициенты интеркорреляции позволяют исключать дублирующие факторы (переменные коллинеарны, если коэффициент больше 0,7). Предпочтение в данном случае отдается тому фактору, который имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. Матрица парных коэффициент корреляции играет большую роль в отборе, но парные коэффициенты не могут полностью решить задачу. Эту роль выполняют показатели частной корреляции, оценивающие в чистом виде тесноту связи фактора и результата.

2) Наибольшую трудность представляет мультиколлениарность факторов. Коэффициенты множественной детерминации позволяют выявить такие переменные. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее проявляется мультиколлениарность факторов.

3) Существуют пути преобразование факторов, которые позволяют уменьшить корреляцию факторов.

— переход к совмещенным уравнениям регрессии, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Такие уравнения строятся, например, при исследовании эффекта влияния на урожайность разных видов удобрений.

— переход к уравнения приведенной формы, где рассматриваемый фактор выражается из другого уравнения. Например, для регрессии с двумя факторами, если исключить один фактор, то мы придем к парной регрессии.

Выделяют следующие основные методы: метод исключения (отсев факторов из полного набора), метод включения (дополнительное введение фактора), шаговый регрессионный анализ (исключение ранее введенного фактора).

28.

прогнозирование по уравнению регрессии (на примере парной линейной регрессии):

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при , то есть путем подстановки в линейное уравнение регрессии соответствующего значения х. однако точечный прогноз невозможен, поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки прогнозного значения и соответственно мы получаем интервальную оценку прогнозного значения. , . Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения результата при заданном значении фактора характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки достигает минимума при х равном среднему значению и возрастает по мере того, как удаляется от среднего х в любом направлении.

29.

особенности нахождения параметров для нелинейных функций регрессии:

Параметры для нелинейной регрессии определяются, как и в линейной, методом наименьших квадратов, так как эти функции линейны по параметрам. Например, для параболы , заменив переменные , получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: , для оценки параметров которого используется МНК. то есть любое подобное уравнение сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.

Формула коэффициента детерминации не изменяется. Причина расчета показателей тесноты связи только для линеаризованных функций – это выполнение правила сложения дисперсий, на основе которого построен этот показатель. Для нелинейных функций показатели тесноты связи называются индексами, то есть индекс детерминации, индекс корреляции.

— индекс корреляции: имеет ту же интерпретацию что и коэффициент корреляции.

— индекс детерминации представляет собой квадрат индекса корреляции. Так как в нем используется соотношение факторной и общей суммы квадратов отклонений, индекс детерминации имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. Значение коэффициента детерминации показывает, на сколько процентов вариация результата обусловлена вариацией фактора, включенного в уравнении регрессии. Соответственно 1- R^2 – характеризует, на сколько вариация обусловлена вариацией других факторов, не учтенных в модели. Используется для проверки статистической значимости в целом уравнения нелинейной регрессии по Фишеру. Близость показателей r^2 и R^2 означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения и можно использовать линейную функцию.

10. использование мнк для нахождения параметров парной линейной регрессии:

МНК применяется для нахождения параметров уравнения регрессии, если выполняются предпосылки классической нормальной линейной модели, которые часто называют предпосылками МНК. МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений фактических от значений расчетных минимальна, то есть линия регрессии выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной: . Для того, чтобы найти минимум функции, надо вычислить производные по каждому из параметров и приравнять их к нулю. Преобразовав, получим: . Решая систему (деля первое уравнение на n), получаем: и .

Предыдущая12345678Следующая



Важн. частный случай стат. связи – корреляционная связь. При корреляц. связи разным значениям одной переменной соотв-ют различные ср. значения др. переменной. Задачей корреляц. анализа явл. колич. оценка тесноты связи м-ду признаками. Регрессия исследует форму связи. З-ча регресс. анализа – опр-ние аналитич. выражения связи. Коррел- регресс. анализ включает в себя измерение тесноты связи и установления аналитич. выражения связи.

Показатели корреляц. связи, вычисленные по ограниченной совок-ти явл-ся лишь оценками той или иной законом-ти, поскольку в любом параметре сохраняется эл-т случайности. Поэтому необх-ма стат. оценка ст-ни точности и надежности пар-ров корреляции и регрессии. Надежность- вероят-ть того, что значение проверяемого парам-ра ≠0 и не включ-т в себя величины противопол-х знаков. Вероятностная оценка пар-ров корреляции произв-ся по общим правилам проверки стат. гипотез. В частности путем сравнения оцениваемой величины со ср. случайной ошибкой оценки. Для коэффиц-та парной регрессии(b) ср. ошибка оценки вычисл-ся по формуле:

где y¯— знач-ния результ. признака, полученные по ур-нию регрессии; ∑(yi-y¯)2/(n-2)- остат. дисперсия; (n-2)- число степеней свободы

Зная ср. ошибку оценки коэф. регресии м. вычислить вер-ть того, что нулевое значение коэфф-та входит в интервал возможных с учетом ошибки значений. С этой целью нах-ся отн-ние коэф. к его ср. ошибке, называемое t-критерий Стьюдента: t=b/mb.

Если t расчетное > t табличного, то вероят-ть нулевого значения коэф. регрессии < ур-ня значимости (a) т.е. гипотезу о несуществовании этого коэфф-та можно отклонить. Надежность установленной связи м. проверить и по ср.случайной ошибке коэф. корреляции по фор-ле:

Ср.ошибка условно чистого коэфф-та регрессии (bj) рассчит-ся по формуле:

Sост.-остаточное ср. квадратич. отклонение результ. признака

;

k- число ф-ров; n- ч-ло ед-ц совок-ти; i-№ ед-цы; j- номер ф-ра

Ср. ошибка оценки коэф-та множеств. корреляции по фор-ле:

Оценка рез-тов регресс. анализа начин-ся с оценки суммарной значимости рез-тов регресс. связи с пом. F-теста. Цель теста: выяснить объясняют ли х-переменные значимую часть вариации у. Если этот тест значим- связь сущ-т и можно приступать к ее ислед-нию и объяснению. F-тест выполняется с пом. компьют. программы и при опред-нии р-значения, т.е.

значение доверит. вероят-ти того, что данные соотв-ют нулевой гипотезе. Нулевая гипотеза для F-теста утв-ет, что в генер. совок-ти м-ду х и у прогнозирующая взаимосвязь отсут-т. Если р-значение > 0.05, то полученный рез-т- незначительный, <–значимый, если <0.01-высокознач. Еще 1вариант основан на оценке коэф-та детерминации. Если R2< чем критич. значение по табл. R2, то соотв. модель незначимая.После оценки значимости регресс. модели м. говорить, что значимы хотя бы 1или все коэф-ты регрессии.



Дата публикования: 2015-01-09; Прочитано: 210 | Нарушение авторского права страницы



studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2018 год.(0.001 с)…

Корреляционно-регрессионный анализ в Excel: инструкция выполнения

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

  • линейной (у = а + bx);
  • параболической (y = a + bx + cx2);
  • экспоненциальной (y = a * exp(bx));
  • степенной (y = a*x^b);
  • гиперболической (y = b/x + a);
  • логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
  • показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а0 + а1х1 +…+акхк.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

  1. Нажимаем кнопку «Офис» и переходим на вкладку «Параметры Excel». «Надстройки».
  2. Внизу, под выпадающим списком, в поле «Управление» будет надпись «Надстройки Excel» (если ее нет, нажмите на флажок справа и выберите). И кнопка «Перейти». Жмем.
  3. Открывается список доступных надстроек. Выбираем «Пакет анализа» и нажимаем ОК.

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

  1. Открываем меню инструмента «Анализ данных». Выбираем «Регрессия».
  2. Откроется меню для выбора входных значений и параметров вывода (где отобразить результат). В полях для исходных данных указываем диапазон описываемого параметра (У) и влияющего на него фактора (Х). Остальное можно и не заполнять.
  3. После нажатия ОК, программа отобразит расчеты на новом листе (можно выбрать интервал для отображения на текущем листе или назначить вывод в новую книгу).

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся.

Что справедливо.

Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

  1. В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
  2. Аргумент «Массив 1» — первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
  3. Аргумент «Массив 2» — второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»).

В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

  1. Строим корреляционное поле: «Вставка» — «Диаграмма» — «Точечная диаграмма» (дает сравнивать пары). Диапазон значений – все числовые данные таблицы.
  2. Щелкаем левой кнопкой мыши по любой точке на диаграмме. Потом правой. В открывшемся меню выбираем «Добавить линию тренда».
  3. Назначаем параметры для линии. Тип – «Линейная». Внизу – «Показать уравнение на диаграмме».
  4. Жмем «Закрыть».

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.

Записи созданы 1517

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Похожие записи

Начните вводить, то что вы ищите выше и нажмите кнопку Enter для поиска. Нажмите кнопку ESC для отмены.

Вернуться наверх